第652章 几何山羊问题

        1748年，有数学家提出一个问题。
一匹马被拴在公园里的圆形围栏上，圆形围栏的周长为160码，与拴住了马的绳子长度相同。问，马可以走动的最大面积是多少？
1749年，相同的期刊刊登了一份来自Mr Heath的答案：对于一根长160码的绳子，马可以获得的移动范围是76257.86平方码。这是近似值。
Michael Hoffman于1998年给出，他用光滑的凸曲线代替了圆形栏杆，给出了这一问题在一般情况下的解。
1894年，这个问题发生了转化，成为：一个包含了一英亩土地的圆与另一个圆相交，另一个圆的中心在第一个圆的圆周上，两个圆的相交面积为半英亩。问：另一个圆的半径为多少？
在外部问题中，我们能从圆的半径和绳子的长度开始计算面积，因此可以借助积分来进行求解。而内部问题的求解需要逆转这一过程，它是从已知的面积来推断形成了这一面积的半径，处理起来要复杂得多。
围栏的形状有圆形、方形，也有椭圆形。
1984年，数学家Marshall Fraser将问题从二维的平面推到了更广阔的领域。他计算出，对于一个n维的球体（n趋于无穷），需要多长绳子，才能让一只山羊在这个n维球体的一半空间中自由食草。
数学家Mark Meyerson发现了Fraser的论证中存在的逻辑错误，在纠正了这一错误后，Meyerson得到了与Fraser相同的结论：当n接近无穷时，绳与球体半径的比例接近√2。
看似更加复杂的多维空间比平坦的二维平面更容易找到解。
数学家Graham Jameson和他的儿子Nicholas Jameson就对内部问题的三维情况进行了研究，在他们的研究中，在三维球体内移动的从山羊变成了鸟。
2017年，Jameson父子发表了一篇论文，文中描述了如果用绳子将一只鸟拴在一个球形笼子上的一点，那么这根绳子需要多长，才能将鸟的移动范围限制在笼子的一半体积内。不过，他们得到的答案有着十分复杂的数学表达式，因此他们还使用了一种近似技术来帮助“鸟类驯养者”计算想要的绳子长度。
就是后来的几何山羊问题。
问题是：假如有一个圆形的围栏围着一片草地，将一只山羊拴在围栏内，请问栓羊的绳子需要多长，才能让山羊的食草范围为所围面积的一半？
德国的数学家Ingo Ullisch通过推导出一个能表示绳长的表达式，找到了内部山羊问题的首个精确解。
Ullisch对这个问题的研究始于2017年，那时，刚刚获得博士学位的Ullisch把几何山羊问题可被简化为一个超越方程。
运用复分析进行求解。是首个将复分析用于求解几何山羊问题的尝试。
通过这种方法，他将上述的超越方程转化成了绳子长度的等效方程，用一个精确的数学公式解答了这个问题。
不过美中不足的是，Ullisch得到的解可能有些复杂——它是两个围道积分式的比值，当中涉及到大量的三角函数混杂在一起。但是，Ullisch认为这一结果仍旧是很有意义，因为它是一个精确的解，即使它算不上简洁。
其他数学家仍在研究这个问题的道路上摸索，比如有数学家希望利用球面的性质来研究在三维空间中的一般化的几何山羊问题。
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